Модель Мора-Кулона в геотехнике

МКЭ разбивает грунтовый массив на элементы и решает систему уравнений равновесия в узлах (см. материал «Метод конечных элементов в геотехнике»). Но сам по себе МКЭ не знает, как именно грунт реагирует на нагрузку. Зависимость «напряжение — деформация» в каждой точке массива задаёт модель поведения (constitutive model).

Грунт — принципиально более сложный материал, чем сталь или бетон. Его жёсткость зависит от действующего напряжения, истории нагружения, направления деформирования. Учесть всё это одной моделью невозможно — отсюда целая семья моделей под разные задачи и типы грунтов.

Простейшая из рабочих моделей — Мора-Кулона. В её основе — критерий прочности, сформулированный ещё в XIX веке и ставший в геотехнике de facto стандартом для задач устойчивости.

На любой площадке внутри грунтового массива действуют нормальное и касательное напряжения (σₙ и τ). Разрушение наступает, когда касательное напряжение достигает предельной величины, которая по Мору-Кулону имеет вид:

τ = c + σₙ · tg φ

где c — удельное сцепление (параметр прочности грунта при σₙ = 0), φ — угол внутреннего трения. В пространстве главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃ поверхность текучести — неправильная шестиугольная пирамида с осью вдоль гидростатического направления.

До достижения этой поверхности грунт деформируется линейно-упруго. На поверхности наступает пластическое течение с постоянным напряжением. Такое поведение называется упруго-идеально-пластическим — без упрочнения и без разупрочнения.

На диаграмме σ–ε (см. схему выше) это прямая линия с наклоном E до уровня предельного девиаторного напряжения q_f, затем горизонтальная площадка течения. Два режима — два участка — один параметр наклона, один параметр прочности.

Модель Мора-Кулона в Plaxis, Midas GTS NX и большинстве геотехнических программных комплексов требует пяти параметров:

• E — модуль деформации грунта. Определяется в лаборатории: либо как секущий модуль E₅₀ из трёхосных испытаний, либо как Eₒₑₔ из компрессионных. Для MC один и тот же E используется и при первичном нагружении, и при разгрузке — это главное упрощение модели.
• ν — коэффициент Пуассона. Типичные значения: 0.20–0.35 для дренированного поведения, близко к 0.50 для недренированного (когда объём не меняется).
• c — удельное сцепление (в кПа). Для эффективных параметров используется c′; для недренированного поведения глин — c_u (undrained shear strength).
• φ — угол внутреннего трения. Для песков 28–45°; для глинистых грунтов в эффективных параметрах 18–28°.
• ψ — угол дилатансии. Для идеально-пластической модели с ассоциированной пластичностью ψ = φ. На практике применяют неассоциированную пластичность, и для плотных песков принимают ψ = φ − 30°, для глин ψ = 0°. Неудачно выбранный ψ может привести к бесконечному разрыхлению массива при пластическом течении — нефизичному результату.

Кроме этих пяти, в расчётной модели отдельно задают собственный вес грунта γ и параметры водонасыщения (позиция УГВ, проницаемость для фильтрационных задач) — но это общие свойства материала, не специфика MC.

MC — модель для задач, где критично поведение грунта на пределе прочности:

• Устойчивость откосов и склонов. Через пошаговое снижение прочностных характеристик (в Plaxis — phi-c редукция, в Midas GTS NX — SRM) — параметры c и tg φ пошагово понижаются до наступления разрушения, отношение исходных значений к критическим даёт коэффициент устойчивости F_s.
• Несущая способность оснований. Расчёт по первой группе предельных состояний — там, где проверяется именно достижение предельной нагрузки.
• Устойчивость подпорных стен и ограждений котлованов «в целом». Предельное равновесие в активном клине или проверка общей устойчивости через пошаговое снижение прочностных характеристик (phi-c редукция в Plaxis, SRM в Midas GTS NX).
• Быстрые оценки безопасности на этапе ТЭО. Когда не нужны точные деформации, важно только соотношение «устойчиво / неустойчиво».

В этих задачах жёсткость на малых деформациях второстепенна — важно корректно воспроизвести момент и форму разрушения. Для таких задач MC остаётся базовым выбором, и усложнять модель не требуется.

MC систематически проигрывает на задачах, где главный результат расчёта — деформации под проектной нагрузкой.

Один модуль E на всё. Первичное нагружение (фундамент давит на основание) и разгрузка-повторное нагружение (выемка котлована, потом загружение) физически идут по разным веткам жёсткости: модуль при разгрузке обычно в 3–5 раз выше модуля при первичном нагружении. MC не различает эти режимы — используется один E. При расчёте котлована MC либо завышает поднятие дна (если E занижен), либо недооценивает деформации ограждения (если E завышен). Корректной «середины» не существует.

Нет зависимости жёсткости от напряжения. В реальности грунт на глубине 50 м жёстче, чем на глубине 1 м, — эффективное напряжение выше, зёрна прижаты плотнее. MC применяет один E на всю толщу, что приводит к завышенным осадкам глубоких слоёв.

Не учитывается предконсолидация. Переуплотнённые глины в области нагружений ниже предысторической нагрузки ведут себя гораздо жёстче. MC этого не знает — выдаёт одну диаграмму σ–ε независимо от истории.

Что делать. Когда проектный критерий — деформации (осадки фундаментов, оценка влияния строительства на существующие здания (ОВС), прогноз деформаций ограждения котлована), MC заменяют на модель с упрочнением. Промышленный стандарт для этого — Hardening Soil (см. «Hardening Soil в геотехнике»). СП 22.13330.2016 п. 5.1.12а прямо разрешает применение геомеханических моделей с упрочнением и предписывает обосновывать выбор модели типом грунта и характером воздействия.

Все пять параметров MC определяются в рамках стандартной программы инженерно-геологических изысканий по ГОСТ. Это — главное практическое преимущество модели перед более сложными: достаточно обычного отчёта ИГИ, без заказа дополнительных испытаний.

• E — из компрессионных испытаний (Eₒₑₔ) или штамповых опытов, реже из трёхосных (E₅₀);
• ν — справочно по типу грунта, либо из литературы;
• c и φ — из трёхосных или срезных испытаний, в эффективных или в недренированных параметрах в зависимости от типа задачи;
• ψ — назначается расчётчиком по правилу ψ = φ − 30° (но не меньше 0°).

Типичные ошибки параметризации:

• Смешивание эффективных и полных параметров. Для дренированных задач (пески, длительная консолидация глин) используют c′ и φ′ в эффективных напряжениях. Для недренированных задач в глинах — c_u при φ = 0. Перемешивание ведёт к некорректному результату, часто в разы.
• Модуль из компрессии применяется как «универсальный». Компрессионный Eₒₑₔ подходит для расчёта осадок фундаментных плит на нормально консолидированных глинах, но не подходит для задач с горизонтальными перемещениями или разгрузкой.
• Ассоциированная пластичность (ψ = φ) по умолчанию. Ведёт к физически нереалистичному разрыхлению грунта при пластическом течении и завышенной устойчивости.
• Один набор параметров на весь массив. В неоднородном основании необходимо разделить ИГЭ и назначить свои параметры для каждого слоя. «Усреднённая» модель грунта практически всегда даёт неверный результат.

Несмотря на простоту, MC остаётся рабочим инструментом ГИПа и расчётчика — при правильной постановке задачи и чёткой привязке параметров к типу грунта и режиму нагружения.